Question

如图，△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证：OE=OF；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论． 

Answer

（1）证明见解析；（2）当O运动到AC中点.

【解析】

试题分析：（1）根据MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角对等边即可证得OE=OF；

（2）根据矩形的性质可知：对角线且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，

∴OE=OC，OC=OF，

∴OE=OF．

（2）【解析】
当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，

∵AO=CO，OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，

∴∠ECF=90°，

∴四边形AECF是矩形．

考点：矩形的判定.