Question

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点．

(1) 求点A坐标； 

(2)若点P为x轴上一动点．点Q的坐标是（，），△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．求出的值并写出点Q的坐标．

（3）在(2)的条件下，若D是坐标平面内任意一点，使点A、P、Q、D刚好能构成平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标

．

Answer

（1）A（2，2）；（2）a=4，Q（4，1）（3）D点的坐标为（﹣1，1），（5，3），（3，﹣2）．

【解析】

试题分析：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，根据直角三角形的性质可设点A的坐标为（a，a），因为点A在直线y=2x﹣2上，即把A点坐标代入解析式即可算出a的值，进而得到A点坐标．

（2）连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点．由ASA易证△AOP≌△ABQ，得出∠AOP=∠ABQ=45，从而求得QB⊥OB，根据B点、Q点的纵坐标相等得出结果．

（3）因为点D与A，P，Q三点构成平行四边形，所以需分情况讨论：因为A（2，2），P（﹣1，0），Q（4，1），利用平行四边形的对边分别平行且相等，

若QD∥BA，则符合条件的点D的坐标分别是D1（5，3），D2（3，﹣2）；若PD∥QA，则符合条件的点D的坐标分别是D2（3，﹣2），D3（﹣1，1）．

试题解析：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴AM=AN．

设点A的坐标为（a，a），

∵点A在直线y=2x﹣2上，

∴a=2a﹣2，

解得a=2，

∴A（2，2）

（2）连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，

则△APQ为等腰直角三角形．

∵∠OAB=∠PAQ=90°

∴∠OAB﹣∠PAB=∠PAQ﹣∠PAB，

∴∠OAP=∠BAQ，

在△APO与△ABQ中

∴△APO≌△ABQ（SAS），

∴∠AOP=∠ABO=45°

∴QB⊥OB

∵A（2，2）

∴B（4，0）

∵Q点的坐标是（a，），

∴a=4，

∴Q（4，1），

（3）在（2）的条件下，若D是坐标平面内任意一点，使点A、P、Q、D刚好能构成平行四边形，则D点的坐标为（﹣1，1），（5，3），（3，﹣2）．

考点：一次函数综合题．