Question

以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.

(1)请猜想四边形ADEF是什么特殊四边形？并说明理由.

(2)当△ABC满足条件___________时，四边形ADEF为矩形；

(3) 当△ABC满足条件___________时，四边形ADEF不存在.

Answer

(1) 四边形ADEF是平行四边形，证明见解析；

（2）∠BAC=150°；

（3）∠BAC=60°．

【解析】

试题分析：（1）可先证明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；

（2）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

（3）根据∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．

试题解析：（1）四边形ADEF是平行四边形；

∵△ABD，△BCE都是等边三角形，

∴∠DBE=∠ABC=60°﹣∠ABE，AB=BD，BC=BE．

在△ABC和△DBE中，

，

∴△ABC≌△DBE（SAS）．

∴DE=AC．

又∵AC=AF，

∴DE=AF．

同理可得EF=AD．

∴四边形ADEF是平行四边形;

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，

∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，

∴∠FAD=90°．

∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．

则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

（3）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，

此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．

．

考点：1.矩形的判定2.全等三角形的判定与性质3.等边三角形的性质4.平行四边形的判定．