Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．

（1）当点D运动到线段AC中点时，DE=　　；

（2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=　　时，⊙C与直线AB相切．

Answer

；或

【解析】（1）求出BC，AC的值，推出DE为三角形ABC的中位线，求出即可；

（2）求出AB上的高，CH，即可得出圆的半径，证△ADE∽△ACB得出比例式，代入求出即可．

【解析】
（1）∵∠C=90°，∠A=30°，，

∴BC=AB=，AC=6，

∵∠C=90°，DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∵D为AC中点，

∴E为AB中点，

∴DE=BC=，

故答案为：；

（2）过C作CH⊥AB于H，

∵∠ACB=90°，BC=，AB=，AC=6，

∴由三角形面积公式得： BC•AC=AB•CH， CH=3，

分为两种情况：

①如图1，

∵CF=CH=3，

∴AF=6﹣3=3，

∵A和F关于D对称，

∴DF=AD=，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴，

∴=，

DE=；

②如图2，

∵CF=CH=3，

∴AF=6+3=9，

∵A和F关于D对称，

∴DF=AD=4.5，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴，

∴=，

DE=；

故答案为：或