Question

如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（　　）

A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形

B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC

C．当PO⊥AC时，∠ACP=30°

D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形

Answer

C

【解析】根据直角是圆中最长的弦，可知当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，由圆周角定理得出∠BAP=90°，再根据等边三角形的性质及圆周角定理得出AP=CP，则△APC是等腰三角形，判断A正确；

当△APC是等腰三角形时，分三种情况：①PA=PC；②AP=AC；③CP=CA；确定点P的位置后，根据等边三角形的性质即可得出PO⊥AC，判断B正确；

当PO⊥AC时，由垂径定理得出PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．如果点P在图1中的位置，∠ACP=30°；如果点P在B点的位置，∠ACP=60°；判断C错误；

当∠ACP=30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置．如果点P在P1的位置，易求∠BCP1=90°，△BP1C是直角三角形；如果点P在P2的位置，易求∠CBP2=90°，△BP2C是直角三角形；判断D正确．

【解析】

A、如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP=90°．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC=CA，

∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，

∴BP⊥AC，

∴∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°，

∴AP=CP，

∴△APC是等腰三角形，

故本选项正确，不符合题意；

B、当△APC是等腰三角形时，分三种情况：

①如果PA=PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合（如图2），所以PO⊥AC，正确；

②如果AP=AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；

③如果CP=CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；

故本选项正确，不符合题意；

C、当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．

如果点P在图1中的位置，∠ACP=30°；

如果点P在B点的位置，∠ACP=60°；

故本选项错误，符合题意；

D、当∠ACP=30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图3．

如果点P在P1的位置，∠BCP1=∠BCA+∠ACP1=60°+30°=90°，△BP1C是直角三角形；

如果点P在P2的位置，∵∠ACP2=30°，∴∠ABP2=∠ACP2=30°，

∴∠CBP2=∠ABC+∠ABP2=60°+30°=90°，△BP2C是直角三角形；

故本选项正确，不符合题意．

故选C．