Question

把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O₁处（即点B处），点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₁处，又将正方形纸片AO₁C₁B₁绕B₁点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为　　，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为　　．

Answer

，

【解析】为了便于标注字母，且更清晰的观察，每次旋转后向右稍微平移一点，作出前几次旋转后的图形，点O的第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°为圆心角的扇形，第2次旋转路线是以正方形的对角线长为半径，以90°为圆心角的扇形，第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°为圆心角的扇形，第4次旋转点O没有移动，旋转后与最初正方形的放置相同．

①根据弧长公式列式进行计算即可得解；

②求出61次旋转中有几个4次，然后根据以上的结论进行计算即可求解．

【解析】
如图，为了便于标注字母，且位置更清晰，每次旋转后不防向右移动一点，

第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°为圆心角的扇形，路线长为=；第2次旋转路线是以正方形的对角线长为半径，以90°为圆心角的扇形，路线长为=；第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°为圆心角的扇形，路线长为=；第4次旋转点O没有移动，旋转后与最初正方形的放置相同，因此4次旋转，顶点O经过的路线长为++=；∵61÷4=15…1，∴经过61次旋转，顶点O经过的路程是4次旋转路程的15倍加上第1次路线长，×15+=．

故答案分别是：；．