Question

在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A₁、A₂、A₃，…在x轴上，点B₁、B₂、B₃，…在直线l上．若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…均为等边三角形，则△A₅B₆A₆的周长是（　　）

A．         B．

C．         D．

Answer

C

【解析】首先求得点A与B的坐标，即可求得∠OAB的度���，又由△OA1B1、△A1B2A2、△A2B3A3…均为等边三角形，易求得OB1=OA=，A1B1=A1A，A2B2=A2A，则可得规律：OAn=（2n﹣1）．根据A5A6=OA6﹣OA5求得△A5B6A6的边长，进而求得周长．

【解析】
∵直线l的解析式为y=x+1且交x轴于点A，交y轴于点B，

∴点A（﹣，0），点B（0，1），

∴OA=，OB=1，

∴tan∠OAB=，

∴∠OAB=30°，

∵△OA1B1、△A1B2A2、△A2B3A3…均为等边三角形，

∴∠A1OB1=∠A2A1B2=∠A3A2B3=60°，

∴∠OB1A=∠A1B2A=∠A2B3A=∠OAB=30°，

∴OB1=OA=，A1B2=A1A，A2B3=A2A，

∴OA1=OB1=，OA2=OA1+A1A2=OA1+A1B2=+2=3，

同理：OA3=7，OA4=15，OA5=31，OA6=63，

则A5A6=OA6﹣OA5=32．

则△A5B6A6的周长是96，

故选C．