Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是____________.

Answer

5

【解析】设BE=x，则EC=4﹣x，先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，则可判断Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比可表示出FC=，则DF=4﹣FC=4﹣=x2﹣x+4=（x﹣2）2+3，所以x=2时，DF有最小值3，而AF2=AD2+DF2，即DF最小时，AF最小，AF的最小值为=5．

【解析】
设BE=x，则EC=4﹣x，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEC=90°，

而∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

∴Rt△ABE∽Rt△ECF，

∴=，即=，解得FC=，

∴DF=4﹣FC=4﹣=x2﹣x+4=（x﹣2）2+3

当x=2时，DF有最小值3，

∵AF2=AD2+DF2，

∴AF的最小值为=5．

故答案为：5．