Question

如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S_△BEF=3S_△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①②③④

Answer

B

【解析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF；

易求得∠BFE=∠BFN，则可得BF⊥EN；易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．

【解析】
∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠BCD=90°，

由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，DF=MF，

即FM⊥BE，CF⊥BC，

∵BF平分∠EBC，

∴CF=MF，

∴DF=CF；故①正确；

∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，

∴∠BFM=∠BFC，

∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，

∴∠BFE=∠BFN，

∵∠BFE+∠BFN=180°，

∴∠BFE=90°，

即BF⊥EN，故②正确；

∵在△DEF和△CNF中，

∴△DEF≌△CNF（ASA），

∴EF=FN，

∴BE=BN，

但无法求得△BEN各角的度数，

∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；

∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，

∴BM=BC=AD=2DE=2EM，

∴BE=3EM，

∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；

故④正确．

故选B．