Question

如图1，把边长分别是为4和2的两个正方形纸片OABC和OD′E′F′叠放在一起．

（1）操作1：固定正方形OABC，将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转45°得到正方形ODEF，如图2，连接AD、CF，线段AD与CF之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；

（2）操作2，如图2，将正方形ODEF沿着射线DB以每秒1个单位的速度平移，平移后的正方形ODEF设为正方形PQMN，如图3，设正方形PQMN移动的时间为x秒，正方形PQMN与正方形OABC的重叠部分面积为y，直接写出y与x之间的函数解析式；

（3）操作3：固定正方形OABC，将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转90°得到正方形OHKL，如图4，求△ACK的面积．

Answer

（1）相等 见解析 （2）见解析 （3）8

【解析】【解析】
（1）相等

由旋转的性质得∠AOB=∠COF，

在△AOD和△COF中，

∴△AOD≌△COF（SAS），

∴AD=CF；

（2）①当0≤x≤4﹣4时，y=22﹣（2﹣x）2=﹣x2+2x+2；

②当4﹣4≤x≤2时，y=22﹣（2﹣x）2﹣（4+x﹣4）2；

③2≤x≤4﹣2时，y=22﹣（4+x﹣4）2；

④4﹣2≤x≤4时，y=（4﹣x）2

⑤x≥4时，y=0．

（3）连接OK，

∵∠COK=∠ACO=45°，

∴OK∥AC，

∴S△ACK=S△AOC=8．

（1）根据旋转的性质得到∠AOB=∠COF，然后证得△AOD≌△COF后即可证得AD=CF；

（2）分当0≤x≤4﹣4时、当4﹣4≤x≤2时，2≤x≤4﹣2时、4﹣2≤x≤4时、x≥4时五种情况列出两个变量之间的函数关系式即可；

（3）连接OK，利用内错角相等得到OK∥AC，然后得到S△ACK=S△AOC=8．