Question

如图①，在平行四边形ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．

（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．

（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．

（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．

（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．

Answer

（1）当点P沿A﹣D运动时，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．

当点P沿D﹣A运动时，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．

（2）S=48t﹣48 （3）t=1或 （4）t=7，t=，t=

【解析】【解析】
（1）当点P沿A﹣D运动时，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．

当点P沿D﹣A运动时，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．

（2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1．

当点P与点D重合时，AP=AD，8t﹣8=50，t=．

当0＜t＜1时，如图①．

过点Q作QE⊥AB于E．

S△ABQ==，

∴QE===．

∴S△APQ=AP×EQ=(13-13t）×=﹣30t2+30t．

当1＜t≤时，如图②．

S==，

∴S=48t﹣48；

（3）当点P与点R重合时，

AP=BQ，8t﹣8=5t，t=．

当0＜t≤1时，如图③．

∵S△BPM=S△BQM，

∴PM=QM．

∵AB∥QR，

∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，

在△BPM和△RQM中

∴△BPM≌△RQM．

∴BP=RQ，

∵RQ=AB，

∴BP=AB

∴13t=13，

解得：t=1

当1＜t≤时，如图④．

∵BR平分阴影部分面积，

∴P与点R重合．

∴t=．

当＜t≤时，如图⑤．

∵S△ABR=S△QBR，

∴S△ABR＜S四边形BQPR．

∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．

综上所述，当t=1或时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．

（4）如图⑥，当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC时，

∴∠C′OQ=∠OQC．

∵△C′OQ≌△COQ，

∴∠C′OQ=∠COQ，

∴∠CQO=∠COQ，

∴QC=OC，

∴50﹣5t=50﹣8（t﹣1）+13，或50﹣5t=8（t﹣1）﹣50+13，

解得：t=7或t=．

当P在A﹣D之间或D﹣A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．

同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，

∴50﹣5t+13=8（t﹣1）﹣50，

解得：t=．

∴当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．

（1）分情况讨论，当点P沿A﹣D运动时，当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值；

（2）分类讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S与t的函数关系式；

（3）分情况讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；

（4）分情况讨论当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，如图⑥，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D﹣A之间如图⑦，根据菱形的性质建立方程求出其解即可．