Question

如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．

（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；

（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．

Answer

（1）EF=BE+DF见解析 （2）AM=AB见解析 （3）AM=AB见解析

【解析】（1）EF=BE+DF，

证明：如答图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，

在△ADF和△ABQ中

∴△ADF≌△ABQ（SAS），

∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，

∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，

∴∠DAF+∠BAE=45°，

∴∠BAE+∠BAQ=45°，

即∠EAQ=∠FAE，

在△EAQ和△EAF中

∴△EAQ≌△EAF，

∴EF=EQ=BE+BQ=BE+DF．

（2）【解析】
AM=AB，

理由是：∵△EAQ≌△EAF，

∴×EQ×AB=×FE×AM，

又∵EF=EQ，

∴AM=AB．

（3）AM=AB，

证明：如答图2，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，

∵折叠后B和D重合，

∴AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，

在△ADF和△ABQ中，

∴△ADF≌△ABQ（SAS），

∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，

∵∠FAE=∠BAD，

∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=∠BAD，

即∠EAQ=∠FAE，

在△EAQ和△EAF中，

∴△EAQ≌△EAF（SAS），

∴EF=EQ，

∵△EAQ≌△EAF，EF=EQ，

∴×EQ×AB=×FE×AM，

∴AM=AB．

（1）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据四边形ABCD是正方形求出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，证△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠F，证△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可；

（2）根据△EAQ≌△EAF，EF=BQ得出×BQ×AB=×FE×AM，求出即可；

（3）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据折叠和已知得出AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，证△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠FAE，证明EAQ≌△EAF，推出EF=EQ即可．