Question

如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）上．

（1）求抛物线的解析式．
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）

Answer

（1）y=x2-3x

（2）m=4 点D的坐标为（2，-2）

（3）点P的坐标为（-，-）和（，）

【解析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；
（2）首先求出直线OB的解析式为y=x，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可；
（3）首先求出直线A′B的解析式，进而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．

【解析】
（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．

解得：

故抛物线的解析式为：y=x2-3x；

（2）设直线OB的解析式为y=k1x（ k1≠0），
由点B（4，4）得
4=4 k1，
解得k1=1．
∴直线OB的解析式为y=x，∠AOB=45°．
∵B（4，4），
∴点B向下平移m个单位长度，
所以平移后的一次函数的解析式为：y=x-m。

又因为平移后的直线与抛物线只有一个交点D，

所以x²-3x=x-m，化简得，x²-4x+m=0，只有一个解，Δ=0.

Δ=4²-4m=0，

故m=4．
∴平移m个单位长度的直线为y=x-4．
解方程组

解得：

∴点D的坐标为（2，-2）．

（3）∵直线OB的解析式y=x，且A（3，0）．
∵点A关于直线OB的对称点A′的坐标为（0，3）．
设直线A′B的解析式为y=k2x+3，此直线过点B（4，4）．
∴4k2+3=4，
解得 k2=．
∴直线A′B的解析式为y=x+3．
∵∠NBO=∠ABO，∴点N在直线A′B上，
设点N（n，n+3），又点N在抛物线y=x2-3x上，
∴n+3=n2-3n．
解得 n1=-，n2=4（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（-，）．

如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，

则 N1 （-，-），B1（4，-4）．
∴O、D、B1都在直线y=-x上．
过D点做DP1∥N1B1，
∵△P1OD∽△NOB，
∴△P1OD∽△N1OB1，
∴P1为O N1的中点．
∴==，
∴点P1的坐标为（-，-）．
将△P1OD沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P1到y轴距离，点到y轴距离等于P1到x轴距离，
∴此点坐标为：（，）．
综上所述，点P的坐标为（-，-）和（，）．