Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．

（1）求证：△ADC≌△ECD；

（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．

Answer

（１）证明见解析；（２）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD；

（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．

试题解析：证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形

∴AB∥DE，AB=DE；

∴∠B=∠EDC；

又∵AB=AC，

∴AC=DE，

∠B=∠ACB，

∴∠EDC=∠ACD

∴△ADC≌△ECD（SAS）；

（2）∵四边形ABDE是平行四边形

∴BD∥AE，BD=AE

∴AE∥CD；

又∵BD=CD，

∴AE=CD（等量代换）

∴四边形ADCE是平行四边形；

在△ABC中，

AB=AC，

BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴▱ADCE是矩形．

考点: 1.矩形的判定；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰三角形的性质；4.平行四边形的性质.