Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于点0，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E．F为垂足．设DC=m，AB=n．（1）求证：△ACB≌△BDA；（2）求四边形DEFC的周长．

Answer

(1)证明见解析；（２）3m+n.

【解析】

试题分析：（1）根据已知和平行线的性质得出∠CDB=∠CAB=∠ABD=∠DCA，推出OA=OB，OC=OD，求出AC=BD，根据SAS证三角形全等即可；

（2）过点C作CG∥BD，交AB延长线于G，得出平行四边形DCGB，推出等腰直角三角形ACG，求出AG长，求出CF即可．

试题解析：（1）证明：∵AB∥CD，∠CDB=∠CAB，

∴∠CDB=∠CAB=∠ABD=∠DCA，

∴OA=OB，OC=OD，

∴AC=BD，

在△ACB与△BDA中，

，

∴△ACB≌△BDA．

（2）【解析】
过点C作CG∥BD，交AB延长线于G，

∵DC∥AG．CG∥BD，

∴四边形DBGC为平行四边形，

∵△ACB≌△BDA，

∴AD=BC，

即梯形ABCD为等腰梯形，

∵AC=BD=CG，

∴AC⊥BD，即AC⊥CG，又CF⊥AG，

∴∠ACG=90°，AC=BD，CF⊥FG，

∴AF=FG，

∴CF=AG，又AG=AB+BG=m+n，

∴CF=(m+n)．

又∵四边形DEFC为矩形，故其周长为：2（DC+CF）=2(m+)＝3m+n

考点: １.等腰梯形的判定；２.全等三角形的判定与性质；３.平行四边形的判定与性质；４.等腰梯形的性质．