Question

已知关于x的方程x²﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．

Answer

(1)证明见解析；（２）4+或4+．

【解析】

试题分析：（1）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；

（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为 ；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．

试题解析：（1）证明：∵△=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，

∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4＞0，即△＞0，

∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；

（2）【解析】
根据题意，得

12-1×（m+2）+（2m-1）=0，

解得，m=2，

则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；

①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；

该直角三角形的周长为1+3+=4+；

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1+3+=4+．

考点: 1.根的判别式；2.一元二次方程的解；3.勾股定理．