Question

如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．

（1）求证：DP平分∠ADC；

（2）若∠CEF=75°，CF=，求△AEF的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

试题分析：（1）连接PC．根据直角三角形的性质可得PC=EF=PA．运用“SSS”证明△APD≌△CPD，得∠ADP=∠CDP；

（2）作PH⊥CF于H点．分别求DF和PH的长，再计算面积．设DF=x，在Rt△EFC中，∠CEF=60°，运用勾股定理可求DF；根据三角形中位线定理求PH．

试题解析：（1）证明：连接PC．

∵ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．

∵BE=DF，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．

∴∠EAF=∠BAD=90°．

∵P是EF的中点，

∴PA=EF，PC=EF，

∴PA=PC．

又∵AD=CD，PD=PD（公共边），

∴△PAD≌△PCD，（SSS）

∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；

（2）由（1）知△EAF是等腰直角三角形，

∴∠AEF=45°，

∴∠AEB=180°﹣45°﹣75°=60°，

∵设BE=x．

∴，．

又，

则.

解之，得

∴

∴

考点：1.正方形的性质；2.三角形的面积；3.全等三角形的判定与性质；4.勾股定理．