Question

有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．

（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=         度；

（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；

（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．

Answer

(1) 15°；(2) ；(3) 当0≤x≤2时，y=−x2+4x+8；当2＜x≤6-2时,y=−x2+18；当6-2＜x≤6时，y=x2-6x+18．

【解析】

试题分析：（1）如题图2所示，由三角形的外角性质可得；

（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；

（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：

（I）当0≤x≤2时，如图1所示；

（II）当2＜x≤6-2时，如图2所示；

（III）当6-2＜x≤6时，如图3所示．

试题解析：（1）如题图2所示，

∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4，

∴tan∠DFE=，

∴∠DFE=60°，

∴∠EMC=∠FMB=∠DFE-∠ABC=60°-45°=15°；

（2）如题图3所示，当EF经过点C时，

FC=；

（3）在三角板DEF运动过程中，

（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：

设DE交BC于点G．

过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．

又∵NF= ,BN=NF+BF，

∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．

y=S△BDG-S△BFM=BD•DG-BF•MN=（x+4）2-x×x

=−x2+4x+8；

（II）当2＜x≤6-2时，如图2所示：

过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．

又∵NF=，BN=NF+BF，

∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．

y=S△ABC-S△BFM=AB•AC-BF•MN=×62-x×x．

=−x2+18；

当6-2＜x≤6时，如图3所示：

由BF=x，则AF=AB-BF=6-x，

设AC与EF交于点M，则AM=AF•tan60°=（6-x）．

y=S△AFM=AF•AM=（6-x）×（6-x）

=x2-6x+18．

考点：相似形综合题．