Question

如图△ABC中，AB=AC，AE⊥BC，E为垂足，F为AB上一点．以BF为直径的圆与AE相切于M点，交BC于G点．

（1）求证：BM平分∠ABC；

（2）当BC=4，cosC=时，

①求⊙O的半径；

②求图中阴影部分的面积．（结果保留π与根号）

Answer

(1)证明见解析；（2）；．

【解析】

试题分析：（1）连OM，根据切线的性质得OM⊥AE，而AE⊥BC，则OM∥BC，根据平行线的性质得∠OMB=∠MBC，而∠OBM=∠OMB，所以∠OBM=∠MBE；

（2）①设⊙O的半径为R，根据等腰三角形的性质得BE=CE=2，由cos∠C=得到∠C=60°，则可判断△ABC为等边三角形，所以AB=AC=BC=4，则∠OAM=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AO=2R，则2R+R=4，解得R=；

②过O作OH⊥BM，H为垂足，根据垂径定理得BH=MH，易得∠AOM=60°，∠ABH=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系可得OH=OB=，BH=OH=，所以BM=，然后根据扇形面积公式和三角形面积公式和S阴=S扇形FOM+S△OBM进行计算．

（1）证明：连OM，如图,

∵⊙O与AE相切于M，

∴OM⊥AE，

∵AE⊥BC，

∴OM∥BC，

∴∠OMB=∠MBC，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∴∠OBM=∠MBE，

∴BM平分∠ABC；

（2）【解析】
①设⊙O的半径为R，

∵AB=AC，BC=4，AE⊥BC，

∴BE=CE=2，

在Rt△ACE中，cos∠C=，

∴∠C=60°

∴△ABC为等边三角形，

∴AB=AC=BC=4，

∴∠OAM=30°，

∴AO=2R，

而AB=OA+BO，

∴2R+R=4，

∴R=，

即⊙O的半径为；

②过O作OH⊥BM，H为垂足，如图，

∵OH⊥BM，

∴BH=MH，

∵OM∥BE，

∴∠AOM=60°，

∴∠ABH=30°，

∴OH=OB=，BH=OH=，

∴BM=，

∴S△OBM=OH•BM=，

∴S扇形FOM=

∴S阴=．

考点：1．切线的性质；2．扇形面积的计算．