Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x²＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．

(1)求抛物线对应的函数关系式；

(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；

(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作MN∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

(1) .(2)是，理由见解析；（3）(，).（4）当时，S取最大值是.此时，点M的坐标为(0，).

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c即可；

（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．

（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；

（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=t，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．

试题解析：（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4.

∵顶点在直线x＝上，∴，解得.

∴所求函数关系式为.

（2）C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，

当x＝5时，；

当x＝2时，.

∴点C和点D都在所求抛物线上.

（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，

设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，

则，解得，.∴直线CD对应的函数关系式为

当x＝时，.∴P(，).

（4） (0＜t＜4).

∵，

∴当时，S取最大值是.此时，点M的坐标为(0，).

考点：二次函数综合题．