Question

如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G.

(1)求证：△APB≌△APD；

(2)已知DF∶FA＝1∶2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.

①求y与x的函数关系式；

②当x＝6时，求线段FG的长.

Answer

(1)证明见解析；（1）；5.

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；

（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出，，进而得出，即，即可得出答案；

②根据①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，进而得出，求出即可．

试题解析：（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，

∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，

∵在△APB和△APD中

，

∴△APB≌△APD（SAS）；

（2）【解析】
①∵△APB≌△APD，

∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，

∵在△DFP和△BEP中，

，

∴△DFP≌△BEP（ASA），

∴PF=PE，DF=BE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴GD∥AB，

∴，

∵DF：FA=1：2，

∴，，

∴，

∴，即，

∴；

②当x=6时，，

∴PF=PE=4，DP=PB=6，

∵，

∴，

解得：FG=5，

故线段FG的长为5．

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的性质．