Question

如图①，将□ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D坐标为（0,4），直线MN：沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被□ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图②所示．

（1）填空：点C的坐标为    ；

在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？    ；（填“B”或“D”）

（2）点B的坐标为    ，n＝    ，a＝    ；

（3）求图②中线段EF的解析式；

（4）t为何值时，该直线平分□ABCD的面积？

Answer

(1) C（3，0），B；（2）B（-2，0），4，,（3）；（4）.

【解析】

试题分析：（1）根据直线解析式求出点M、N的坐标，再根据图2判断出CM的长，然后求出OC，从而得到点C的坐标，根据被截线段在一段时间内长度不变可以判断出先经过点B后经过点D；

（2）根据图2求出BM=10，再求出OB，然后写出点B的坐标，利用勾股定理列式求出CD，再求出BC的长度，从而得到BC=CD，判断出▱ABCD是菱形，再求出MN⊥CD，根据菱形的性质可知n=DO，根据向左平移横坐标减表示出平移后的直线解析式，把点D的坐标代入函数解析式求出t的值即为a；

（3）根据菱形的性质写出点A的坐标，再求出F的坐标，然后设直线EF的解析式为y=kx+b，再利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（4）根据过平行四边形中心的直线平分平行四边形的面积，求出菱形的中心坐标，然后代入直线MN的解析式计算即可得解．

（1）令y=0，则x-6=0，解得x=8，

令x=0，则y=-6，

∴点M（8，0），N（0，-6），

∴OM=8，ON=6，

由图2可知5秒后直线经过点C，

∴CM=5，OC=OM-CM=8-5=3，

∴C（3，0），

∵10秒～a秒被截线段长度不变，

∴先经过点B；

（2）由图2可知BM=10，

∴OB=BM-OM=10-8=2，

∴B（-2，0），

在Rt△OCD中，由勾股定理得，，

∴BC-CD=5，

∴▱ABCD是菱形，

∵，

∴MN⊥CD，

∴n=DO=4，

∵设直线MN向x轴负方向平移的速度为每秒1个单位的长度，

平移后的直线解析式为y=（x+t）-6，

把点D（0，4）代入得，

（0+t）-6=4，

解得t=，

∴a=；

（3）由（2）可得点E的坐标为（，4），

由菱形的性质，点A（-5，4），

代入直线平移后的解析式得，

（-5+t）-6=4，

解得t=，

∴点F（，0）

设直线EF的解析式为y=kx+b，

则，

解得，

所以线段EF的解析式为：；

（4）∵B（-2，0），D（0，4），

∴▱ABCD的中心坐标为（-1，2），

∵直线M平分▱ABCD的面积，

∴直线MN经过中心坐标，

∴（-1+t）-6=2，

解得t=，

即t=时，该直线平分▱ABCD的面积．

考点: 一次函数综合题．