Question

一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE = α，如图17-1所示）．

探究 如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′ 交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：

（1）CQ与BE的位置关系是___  ___，BQ的长是____  ___dm；

（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB）

（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝，tan37°＝)

拓展 在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.

延伸 在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm³.

Answer

（1）CQ∥BE，BQ=3；

（2）V液=24dm3；

（3）α=∠BCQ=37°．

【解析】

试题分析：（1）根据水面与水平面平行可以得到CQ与BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的长；

（2）液体正好是一个以△BCQ是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积；

（3）根据液体体积不变，据此即可列方程求解；

延伸：当α=60°时，如图6所示，设FN∥EB，GB′∥EB，过点G作GH⊥BB′于点H，此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱，求得棱柱的体积，即可求得溢出的水的体积，据此即可作出判断．

试题解析：（1）CQ∥BE，BQ==3；

（2）V液=×3×4×4=24（dm3）；

（3）在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=，

∴α=∠BCQ=37°．

当容器向左旋转时，如图3，0°≤α≤37°，

∵液体体积不变，

∴（x+y）×4×4=24，

∴y=﹣x+3．

当容器向右旋转时，如图4．同理可得：y=；

当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B′重合时，如图5，

由BB′=4，且PB•BB′×4=24，得PB=3，

∴由tan∠PB′B=，得∠PB′B=37°．

∴α=∠B′PB=53°．此时37°≤α≤53°；

延伸：当α=60°时，如图6所示，设FN∥EB，GB′∥EB，过点G作GH⊥BB′于点H．

在Rt△B′GH中，GH=MB=2，∠GB′B=30°，

∴HB′=2．

∴MG=BH=4﹣2＜MN．

此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱．

∵S△NFM+SMBB′G=××1+（4﹣2+4）×2=8﹣．

∴V溢出=24﹣4（8﹣）=﹣8＞4（dm3）．

∴溢出液体可以达到4dm3．

．

考点：1.四边形综合题2.解直角三角形的应用．