Question

（1）在图①的半径为R的半圆O内（含弧），求出一边落在直径MN上的最大的正三角形的面积？

（2）在图②的半径为R的半圆O内（含弧），求出一边落在直径MN上的最大的正方形的面积？

问题解决

（3）如图③，现有一块半径R=6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由？

Answer

（1）R2；（2）R2；（3）存在，36．

【解析】

试题分析：（1）如图①，△ACB为满足条件的面积最大的正三角形．连接OC，则OC⊥AB，根据垂径定理得到AB=2OB，然后利用含30°的直角三角形三边的关系求出OB，再利用三角形的面积公式计算即可；

（2）如图②，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形．连接OA．令OB=a，则AB=2a，利用勾股定理求出边长，再利用正方形的面积公式计算即可；

（3）如图③，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A′、D′．连接A′D、OD，则A′D为⊙O的直径．在Rt△AA′D中，当OA⊥A′D时，S△AA′D的面积最大．

（1）如图①，△ACB为满足条件的面积最大的正三角形．

连接OC，则OC⊥AB．

∵AB=2OB•tan30°=R，

∴S△ACB=AB•OC=×R•R=R2．

（2）如图②，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形．

连接OA．令OB=a，则AB=2a．

在Rt△ABO中，a2+（2a）2=R2．

即a2=R2．

S正方形ABCD=（2a）2=R2．

（3）存在．

如图③，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN

所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A′、D′．

连接A′D、OD，则A′D为⊙O的直径．

∴S矩形ABCD=AB•AD=AA′•AD=S△AA′D

∵在Rt△AA′D中，当OA⊥A′D时，S△AA′D的面积最大．

∴S矩形ABCD最大=•2R•R=R2=36．

考点: 1.垂径定理；2.等边三角形的性质；3.勾股定理；4.正方形的性质．