Question

小明遇到这样一个问题：“如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．”

    分析时，小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于 点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个正方形（无缝隙不重叠），则这个正方形的边长为_______

（2）求正方形MNPQ的面积．

（3）参考小明思 考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为_______．

Answer

(1) a；（2）2；(3) .

【解析】

试题分析：(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形的面积为a2；

（2）如图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；

（3）参照小明的钥匙思路，对问题作同样的等积变形，即可求解问题.

(1) a

(2) ∵四个等腰直角三角形△RQF，△SMG，△TNH，△WPE的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，

∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2；

(3)

如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，

交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．

由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．

所以△RSF，△QET，△PDW的面积等于△ABC的面积。

由此可得：S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，

过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，

则AN=AD•sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，

∴S△ADS=SD•AN=•x•x=x2．

∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，

∴=3×x2，得x2=，

解得x=或x=−（不合题意，舍去）

∴x=，即AD的长为。

考点: 四边形综合题.