Question

矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4．

（1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；

（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．

Answer

（1）可以在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是16；

（2）图形见解析．

【解析】

试题分析：（1）设AM=x（0≤x≤4）则MD=4﹣x，根据正方形的性质就可以得出Rt△ANM≌Rt△DMF．根据正方形的面积就可以表示出解析式，由二次函数的性质就可以求出其最值；

（2）先将矩形纸片分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图，根据赵爽弦图的构图方法就可以拼成正方形．

试题解析：（1）正方形的最大面积是16．设AM=x（0≤x≤4），则MD=4﹣x．

∵四边形MNEF是正方形，

∴MN=MF，∠AMN+∠FMD=90°．

∵∠AMN+∠ANM=90°，

∴∠ANM=∠FMD．

∵在△ANM和△DMF中

，

∴△ANM≌△DMF（AAS）．

∴DM=AN．

∴S正方形MNEF=MN2=AM2+AN2，

=x2+（4﹣x）2，

=2（x﹣2）2+8

∵函数 S正方形MNEF=2（x﹣2）2+8的开口向上，

对称轴是x=2，

在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大，

∵0≤x≤4，

∴当x=0或x=4时，正方形MNEF的面积最大，最大值是16．

（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．

．

考点：四边形综合题．