Question

如图所示,,,,点是以为直径的半圆上一动点, 交直线于点,设.

(1)当时,求弧BD的长；

(2)当时,求线段的长；

(3)若要使点在线段的延长线上,则的取值范围是_________.(直接写出答案)

Answer

(1) 的长为： π；

（2）BE=；

（3）60°＜α＜90°．

【解析】

试题分析：（1）首先连接OD，由圆周角定理，可求得∠DOB的度数，又由⊙O的直径为2，即可求得其半径，然后由弧长公式，即可求得答案；

（2）首先证得△ACD∽△BED，然后由相似三角形的对应边成比例，可得，继而求得答案；

（3）首先求得A与E重合时α的度数，则可求得点E在线段BA的延长线上时，α的取值范围．

试题解析：（1）连接OD，

∵α=18°，

∴∠DOB=2α=36°，

∵AB=2，

∴⊙O的半径为：，

∴的长为：=π；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵α=30°，

∴∠B=60°，

∵AC⊥AB，DE⊥CD，

∴∠CAB=∠CDE=90°，

∴∠CAD=90°﹣α=60°，

∴∠CAD=∠B，

∵∠CDA+∠ADE=∠ADE+∠BDE=90°，

∴∠CDA=∠BDE，

∴△ACD∽△BED，

∴，

∵AB=2，α=30°，

∴BD=AB=，

∴AD==3，

∴，

∴BE=；

经检验，BE=是原分式方程的解．

（3）如图，当E与A重合时，

∵AB是直径，AD⊥CD，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴C，D，B共线，

∵AC⊥AB，

∴在Rt△ABC中，AB=2，AC=2，

∴tan∠ABC==，

∴∠ABC=30°，

∴α=∠DAB=90°﹣∠ABC=60°，

当E′在BA的延长线上时，如图，可得∠D′AB＞∠DAB＞60°，

∵0°＜α＜90°，

∴α的取值范围是：60°＜α＜90°．

故答案为：60°＜α＜90°．

考点：1.相似三角形的判定与性质2.圆周角定理3.弧长的计算4.解直角三角形．