Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tan∠CAO=3．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；

(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y²－(m+3)y+(5m²－2m+13)=0 (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．

Answer

(1) y=-x2+2x+3；(2) ；（3）t=1, (1+，2)和(1－，2).

【解析】

试题分析：（1）当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA的值，得出A的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；

（2）分两种情况讨论，当点P在线段CB上时，和如图3点P在射线BN上时，就有P点的坐标为（t，-t+3），Q点的坐标为（t，-t2+2t+3），就可以得出d与t之间的函数关系式而得出结论；

（3）根据根的判别式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，就可以得出四边形LQMH是平行四边形，进而得出四边形LQMH是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．

试题解析：（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n，y=ax2+bx+3=3，

∴OC=3=n．

当y=0，

∴-x+3=0，x=3=OB，

∴B（3，0）．

在△AOC中，∠AOC＝90°，tan∠CAO=，

∴OA=1，

∴A（-1，0）．

将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，

得

，

解得：

∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+3；

(2) 如图1，

∵P点的横坐标为t 且PQ垂直于x轴 ∴P点的坐标为(t，－t+3)，

Q点的坐标为(t，－t2+2t+3).

∴PQ=|(－t+3)－(－t2+2t+3)|=| t2－3t |

∴；

∵d，e是y2－(m+3)y+(5m2－2m+13)=0（m为常数）的两个实数根，

∴△≥0，即△=(m+3)2－4× (5m2－2m+13)≥0

整理得：△= －4(m－1)2≥0，∵－4(m－1)2≤0，

∴△=0，m=1，

∴ PQ与PH是y2－4y+4=0的两个实数根，解得y1=y2=2

∴ PQ=PH=2， ∴－t+3=2，∴t=1,

∴此时Q是抛物线的顶点，

延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，

∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，

∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，

∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，

∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，

∴在y=－x2+2x+3令y=2，得x2－2x－1=0，∴x1=1+，x2=1－

综上：t值为1，M点坐标为(1+，2)和(1－，2)

考点：二次函数综合题．