Question

如图，在直角梯形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．连接并展开纸片．

（1）求证：四边形是正方形；

（2）取线段的中点，连接，如果，试说明四边形是等腰梯形．

Answer

（1）证明见解析；（2）说理见解析.

【解析】

试题分析：(1)由题意知，AD=DE，易证四边形AFED是矩形，所以四边形AFED是正方形，连接DG由于BG与CD平行且相等，所以边形BCDG是平行四边形

(2)由（1）知CB=DG，在正方形AFED中，易证△DAG≌△EFG，所以DG=EG=BC，即四边形GBCE是等腰梯形．

试题解析：（1）∵△DEF由△DAF折叠而得，

∴∠DEF=∠A=90°，DA=DE，

∵AB∥CD，

∴∠ADE=180°-∠A=90°．

∴∠DEF=∠A=∠ADE=90°．

∴四边形ADEF是矩形．

又∵DA=DE，

∴四边形ADEF是正方形.

（2）由折叠及图形特点易得EG与CB不平行，

连接DG，

∵BG∥CD，且BG=CD，

∴四边形BCDG是平行四边形．

∴CB=DG．

∵四边形ADEF是正方形，

∴EF=DA，∠EFG=∠A=90°．

∵G是AF的中点，

∴AG=FG．

在△DAG和△EFG中

，

∴△DAG≌△EFG（SAS）．

∴DG=EG．

∴EG=BC．

∴四边形GBCE是等腰梯形．

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.正方形的判定；3.等腰梯形的判定．