Question

如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，且DG平分△ABC的周长，设BC=a、AC=b、AB=c．

（1）求线段BG的长；

（2）求证：DG平分∠EDF；

（3）连接CG，如图2，若△GBD ∽△GDF，求证：BG⊥CG．

Answer

（1）（b+c）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与BD=CD，易得BG=AC+AG，即可得BG=（AB+AC）；

（2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=AC=b，由FG=BG-BF，求得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG；

（3）由△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），可得∠B=∠FDG，又由（2）得：∠FGD=∠FDG，易证得DG=BD=CD，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BG⊥CG．

试题解析：（1）【解析】
∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，

∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，

∵D是BC的中点，

∴BD=CD，

∴BG=AC+AG，

∵BG+（AC+AG）=AB+AC，

∴BG=（AB+AC）=（b+c）；

（2）证明：∵点D、F分别是BC、AB的中点，

∴DF=AC=b，BF=AB=c，

又∵FG=BG-BF=（b+c）-c=b，

∴DF=FG，

∴∠FDG=∠FGD，

∵点D、E分别是BC、AC的中点，

∴DE∥AB，

∴∠EDG=∠FGD，

∴∠FDG=∠EDG，

即DG平分∠EDF；

（3）证明：∵△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），

∴∠B=∠FDG，

由（2）得：∠FGD=∠FDG，

∴∠FGD=∠B，

∴DG=BD，

∵BD=CD，

∴DG=BD=CD，

∴B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，

∴∠BGC=90°，

即BG⊥CG．

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.三角形中位线定理.