Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM?

（2）当t为何值时，△AMN的面积最大?并求出这个最大值．

Answer

（1）当t为4时，∠AMN=∠ANM；（2）当t=6时，S最大值=．

【解析】

试题分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程求得t值即可；

（2）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可．

试题解析：（1）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．

∴AM=12﹣t，AN=2t

∵∠AMN=∠ANM

∴AM=AN，从而12﹣t=2t

解得：t=4 秒，

∴当t为4时，∠AMN=∠ANM；

（2）在Rt△ABC中

∵AB2=BC2+AC2

∴AB=13

如图，作NH⊥AC于H，

∴∠NHA=∠C=90°，

∵∠A是公共角，

∴△NHA∽△BCA

∴，

即：，

∴NH=

从而有S△AMN=（12﹣t）•=﹣t2+，

∴当t=6时，S最大值=．

考点：1.相似三角形的判定与性质2.二次函数的最值．