Question

如图，点O在边长为8的正方形ABCD的AD边上运动(4<C)A<8)，以O为圆心，OA长为半径作圆，交CD于点E，连接OE、AE，过点E作直线EF交BC于 点F，且∠CEF＝2∠DAE．

(1)求证：直线EF为⊙O的切线；

(2)在点O的运动过程中，设DE＝x，解决下列问题：

①求OD·CF的最大值，并求此时半径的长；

②试猜想并证明△CEF的周长为定值．

Answer

（1）证明见解析；（2）16，5；证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由OA=OB得∠OAE=∠OEA，则根据三角形外角性质得∠DOE=2∠DAE，由于∠CEF=2∠DAE，则∠CEF=∠DOE，加上∠DOE+∠DEO=90°，则∠CEF+∠DEO=90°，所以∠OEF=90°，于是可根据切线的判定定理得到直线EF为⊙O的切线；

（2）由于∠CEF=∠DOE，根据三角形相似的判定得到Rt△DOE∽Rt△CEF，利用相似比得OD•CF=DE•EC=x（8-x），配方得OD•CF=-（x-4）2+16，然后根据二次函数的性质得当x=4时，OD•CF的值最大，最大值为16；设此时半径为R，则OA=OE=R，OD=8-R，在Rt△ODE中，根据勾股定理可计算出此时半径为5；

（3）在Rt△ODE中，利用勾股定理得到（8-OE）2+x2=OE2，则OE=4+，OD=8-OE=4-，再利用Rt△DOE∽Rt△CEF得到相似比 ，即 ，可计算得CF=，EF=，然后根据三角形周长的定义得到△CEF的周长得到CE+CF+EF=8-x++，再进行分式的化简运算即可得到△CEF的周长为16．

试题解析：（1）证明：∵OA=OB，

∴∠OAE=∠OEA，

∴∠DOE=2∠DAE，

∵∠CEF=2∠DAE，

∴∠CEF=∠DOE，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠D=90°，

∴∠DOE+∠DEO=90°，

∴∠CEF+∠DEO=90°，

∴∠OEF=90°，

∴OE⊥EF，

∴直线EF为⊙O的切线；

（2）【解析】
∵∠CEF=∠DOE，

∴Rt△DOE∽Rt△CEF，

∴，

∴OD•CF=DE•EC，

∵DE=x，

∴EC=8-x，

∴OD•CF=x（8-x）

=-x2+8x

=-（x-4）2+16，

当x=4时，OD•CF的值最大，最大值为16，

设此时半径为R，则OA=OE=R，OD=8-R，

在Rt△ODE中，

∵OD2+DE2=OE2，

∴（8-R）2+42=R2，解得R=5，

即此时半径为5；

（3）猜想△CEF的周长为16．

在Rt△ODE中，OD2+DE2=OE2，即（8-OE）2+x2=OE2，

∴OE=4+，

∴OD=8-OE=4-，

∵Rt△DOE∽Rt△CEF，

∴，即

∴CF=，EF=，

∴△CEF的周长=CE+CF+EF= CE+CF+EF=8-x++=16．

考点：圆的综合题．