Question

如图，矩形OABC放置在第一象限内，已知A(3，0)，∠AOB＝30°，反比例函数y＝的图像交BC、AB于点D、E．

(1)若点D为BC的中点，试证明点E为AB的中点；

(2)若点A关于直线OB的对称点为F，试探究：点F是否落在该双曲线上？

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据直角三角形的性质，可得AB的长，根据矩形的性质，可得D点的坐标，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得证明结论；

（2）根据对称的性质，可得∠AOF的大小，OF与OA的关系，根据直角三角形的性质，可得F点的坐标，根据F点纵横坐标的乘积与反比例函数解析式中k的值，可得答案．

试题解析：（1）证明：∵OA=3，∠AOB=30°，

∴AB=．

∵D点D为BC的中点，

∴D（1.5，）．

∴反比例函数解析式是y=．

当xE=3时，yE=，

∴E为AB的中点；

（2）作FG⊥OA于点G，如图：点F没有落在双曲线上．

，

∵点A的对称点为，

∴∠AOF=60°．

∵OF=OA=3，

∴OG＝，FG＝．

∴F(，)．

∵×≠，

∴点F没有落在双曲线上．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征．