Question

在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．

（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；

（2）如图2，连接AA₁，CC₁，若△CBC₁的面积为16，求△ABA₁的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P₁，直接写出线段EP₁长度的最大值与最小值．

Answer

(1)60°；（2）；（3）线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值1．

【解析】

试题分析：（1）由由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=30°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数；

（2）由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABA1的面积；

（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．

（1）如图1，依题意得：△A1C1B≌△ACB．

∴BC1=BC，∠A1C1B=∠C=30°．

∴∠BC1C=∠C=30°．

∴∠CC1A1=60°；

（2）如图2，由（1）知：△A1C1B≌△ACB．

∴A1B=AB，BC1=BC，∠A1BC1=∠ABC．

∴∠ABA1=∠CBC1，

∴△A1BA∽△C1BC  

∴

∵S△C1BC＝3，

∴S△A1BA＝；

（3）线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值1．

解题过程如下：①如图a，过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形，

∴点D在线段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin30°=6×=3，

当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1-BE=BD-BE=3-2=1；

②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=6+2=8．

综上所述，线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值1．

考点：相似形综合题．