Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．

(1)试说明：AD⊥DC；

(2)若AD＝1，AC＝，求AB的长．

Answer

(1)说明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据CD与⊙O相切，所以OC⊥CD，再由OA=OC，得出∠2=∠3，根据AC平分∠DAB，则∠2=∠1，等量代换得出∠3=∠1，从而得出AD∥OC，所以∠ADC=∠OCE=90°，即AD⊥DC．

（2）连接BC．根据AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，由（1）得出∠2=∠1，则△ACD∽△ABC，从而得出，即AC2=AD•AB，得出AB即可．

（1）连接OC，

∵CD与⊙O相切，

∴OC⊥CD，

∴∠OCE=90°，

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，

∵AC平分∠DAB，

∴∠2=∠1，

∴∠3=∠1，

∴AD∥OC，

∴∠ADC=∠OCE=90°，

∴AD⊥DC．

（2）连接BC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°=∠ADC，

∵∠3=∠1，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∴AC2=AD•AB，

∴AB=（）2=．

考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质．