Question

如图，四边形ABCD为矩形，四边形AEDF为菱形．

（1）求证：△ABE≌△DCE；

（2）试探究：当矩形ABCD边长满足什么关系时，菱形AEDF为正方形？请说明理由．

Answer

(1)证明见解析；（2）当BC=2AB时，菱形AEDF为正方形．理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质可得∠B=∠C=90°，AB=DC，根据菱形的四条边都相等可得AE=DE，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△DCE全等即可；

（2）BC=2AB时，菱形AEDF为正方形．根据全等三角形对应边相等可得BE=CE，然后求出AB=BE，从而求出∠BAE=∠AEB=45°，同理可得∠DEC=45°，然后求出∠AED=90°，最后根据有一个角是90°的菱形是正方形判断．

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B=∠C=90°，AB=DC，

∵四边形AEDF为菱形，

∴AE=DE，

在Rt△ABE和Rt△DCE中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）；

（2）【解析】
当BC=2AB时，菱形AEDF为正方形．

理由：∵Rt△ABE≌Rt△DCE，

∴BE=CE，∠AEB=∠DEC，

又∵BC=2AB，

∴AB=BE，

∴∠BAE=∠AEB=45°，

同理可得，∠DEC=45°，

∵∠AEB+∠AED+∠DEC=180°，

∴∠AED=180°-∠AEB-∠DEC=90°，

∴菱形AEDF是正方形．

考点：1.矩形的性质；2.菱形的性质；3.正方形的判定;4. 全等三角形的判定与性质．