Question

如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F.

（1）BE与EF相等吗？并说明理由；

（2）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式.

（3）求的值.

Answer

（1）相等，理由见解析；（2）正确；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据圆周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；

（2）根据全等三角形的性质和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案；

（3）求出，求出AH、CP的长，代入即可求出答案．

试题解析：（1）BE=EF，

理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，

∴∠BAC=∠ADC=90°，

∴∠BAD=∠ACB，

∵A为弧BP中点，

∴∠ABP=∠ACB，

∴∠BAD=∠ABP，

∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，

∴EF=AE，

∴BE=EF；

（2）小李的发现是正确的，

理由是：延长BA、CP，两线交于G，

∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点，

∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，

在△PCF和△PBG中，

∴△PCF≌△PBG（ASA），

∴CF=BG，

∵BC为直径，

∴∠BAC=°，

∵A为弧BP中点，

∴∠GCA=∠BCA，

在△BAC和△GAC中

∴△BAC≌△GAC（ASA），

∴AG=AB=BG，

∴CF=2AB；

（3）连接OA交BP于H，

∵A为弧BP的中点，

∴OA⊥BP，

∵∠BPC=90°，

∴OA∥CP，

∴△AHF∽△CPF，

∴，

设OA=r，BC=2r，

∵BP=CP，∠BPC=90°，

∴PC=r，

∴OH=，AH=，

∴=．

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.圆周角定理．