Question

如图，矩形ABCD中，点E、F分别从A、D两点同时出发，以相同的速度作直线运动.点E在线段AB上运动，点F沿射线CD运动，连结EF、AF、AC，EF分别交AD和AC 于点O、H．

（1）求证：EO=OF；

（2）当点E运动到什么位置时，EF=AC,在备用图1中画出图形并说明理由；

（3）当点E运动到什么位置时，∠FAD=∠CAD,在备用图2中画出图形并说明理由，此时设四边形CDOH的面积为S，四边形ABCF的面积为S，请直接写出S：S的值．

Answer

（1）证明见解析；

（2）点E在AB的中点．理由见解析；

（3）点E与点B重合，S1：S2=．

【解析】

试题分析：（1）由矩形的性质就可以得出∠EAD=∠FDA=90°，根据AE=DF就可以得出△AOE≌△DOF就可以得出结论；

（2）作EG⊥CD于G，由矩形的性质就可以得出△EGF≌△ADC就可以得出结论；

（3）如图3，由∠FAD=∠CAD就可以得出△ADF≌△ADC就可以得出DF=DC，得出AF=CD=AB而得出结论．

试题解析：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AB=DC，∠DAB=∠ADC=∠B=∠BCD=90°．

在△AOE和△DOF中，

，

∴△AOE≌△DOF（AAS），

∴EO=OF；

（2）点E在AB的中点．

理由：如图2，作EG⊥CD于G，

∴∠EGF=90°，

∴四边形AEGD是矩形，

∴EG=AD．AE=DG．

∴FD=DG，

∴DG=FG，

在Rt△ADC和Rt△EGF中，

，

∴Rt△ADC≌Rt△EGF（HL），

∴FG=DC，

∴DG=DC，

∴AE=AB，

∴点E是AB的中点；

（3）点E与点B重合

理由：在△ADF和△ADC中

，

∴△ADF≌△ADC（ASA），

∴FD=CD，

∴AE=CD，

∴AE=AB，

∴点E与点B重合．

∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴△AOH∽△CBH，△AHB∽△

∴，

∴S△AOH：S△CBH=1：4，S△OH：S△ABH=1：2．

设S△AOH=a，则S△ABH=2a，S△CBH=4a，

∴S△ABC=6a，S△ADC=6a，

∴S四边形ABCF=18a，S四边形CDOH=5a，

∴S四边形CDOH：S四边形ABCF=，

即S1：S2=．

．

考点：四边形综合题．