Question

如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于点P，且PC=BC．

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若tan∠A=，BC=8，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）⊙O的半径是6．

【解析】

试题分析：（1）根据等腰三角形的性质求得∠OBP+∠CBP=90°，则BC是⊙O的切线；

（2）根据锐角三角函数定义，可设OP=x，则OA=3x．在Rt△OBC中，由勾股定理列出关于x的方程（x+8）2=（3x）2+82，通过解该方程可以求得x=2，则OA=3x=6．

试题解析：（1）相切．理由如下：

∵OA=OB，

∴∠A=∠OBA．

∵CP=BP，

∴∠CBP=∠BPC．

∵∠OPA=∠BPC，∠A+∠OPA=90°，

∴∠OBP+∠CBP=90°，

∴BC是⊙O的切线；

（2）∵tanA=，

∴设OP=x，则OA=3x．

在Rt△OBC中，（x+8）2=（3x）2+82，

解得 x=2，则OA=6，

∴⊙O的半径是6．

考点：1.切线的判定2.勾股定理．