Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．

（1）求证：DE＝FE；

（2）若BC＝9，AD＝6，求BF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）BF=4．

【解析】

试题分析：1）连接OE，易证OE∥BC；由圆的性质知点O是BD的中点，则OE是△DBF的中位线；最后根据中位线的定义证得DE=FE；

（2）易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即可求解．

试题解析：（1）连接OE，BE．

∵∠ACB=90°，AC是⊙O的切线，

∴BC⊥AC，OE⊥AC，

∴OE∥BC；

∵DO=OB，

∴OE是△DBF的中位线，

∴E是DF的中点，

∴DE=EF；

（2）∵OE∥BC，

∴Rt△ABC∽Rt△AOE，

∴；

设⊙O的半径是r，则有，

解得r=2，∴BD=4；

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED；

由（1）知OE∥BC，

∴∠OED=∠BFD，

∴∠BDF=∠BFD，

∴BF=BD=4．

考点：圆的综合题．