Question

如图，在□ABCD中，AB=4，AD=6，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=．

（1）求AE的长；   （2）求ΔCEF的周长和面积．

Answer

（1）AE=4；（2）△CEF的周长=6，△CEF的面积=．

【解析】

试题分析：（1）由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；

（2）首先证明△ABE∽△FCE，再分别求出△ABE的周长和面积，然后根据相似比等于周长比，面积比等于相似比的平方即可得到答案．

试题解析：（1）∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE；

又∵AD∥BC，

∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，

∴AB=BE=4，

∵BG⊥AE，垂足为G，

∴AE=2AG．

在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=4，BG=2，

∴AG==2，

∴AE=2AG=4；

（2）∵BE=4，BC=AD=6，

∴CE=BC﹣BE=6﹣4=2，

∴BE：CE=4：2=2：1．

∵AB∥FC，

∴△ABE∽△FCE，

∴△ABE的周长：△CEF的周长=BE：CE=2：1，

△ABE的面积：△CEF的面积=（BE：CE）2=4：1，

∵AB=BE=4，AE=4，BG=2，

∴△ABE的周长=4+4+4=12，△ABE的面积=×4×2=4，

∴△CEF的周长=6，△CEF的面积=．

考点：相似三角形的判定与性质．