Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB = 6，AD = 9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G,如图①．

⑴ 求CD的长及∠1的度数；

⑵ 设DE = x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少?

⑶ 当点G刚好落在线段BC上时,如图②,若此时将所得到的△EFG沿直线CB向左平移，速度为每秒1个单位，当E点移动到线段AB上时运动停止.设平移时间为t（秒）,在平移过程中是否存在某一时刻t，使得△ABE为等腰三角形?若存在，请直接写出对应的t的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）CD= ，∠1 =30°；（2）当x=时，y的值最大，y的最大值为；（3）存在， t=9或t=9﹣2或t=12﹣．

【解析】

试题分析：（1）过点A作AH⊥BC于点H，构建Rt△AHB和矩形AHCD；通过解直角三角形、矩形的性质求得CD=AH=．则，故∠CAD=30°；然后由平行线的性质推知∠1=∠CAD=30°；

（2）根据△EFG≌△EFD列出y的表达式，从而讨论x的范围，分别得出可能的值即可；

（3）需要分类讨论：以AB为底和以AB为腰的情况．

试题解析：（1）过点A作AH⊥BC于点H．

∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°，

∴AH=AB•sinB=

∵四边形ABCD为直角梯形

∴四边形AHCD为矩形

∴CD=AH=．

∵

∴∠CAD=30°

∵EF∥AC

∴∠1=∠CAD=30°；

（2）点G恰好在BC上，由对折的对称性可知△FGE≌△FDE，

∴GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°

∴∠GEC=60°

∵△CEG是直角三角形

∴∠EGC=30°

∴在Rt△CEG中，EC=EG=x

由DE+EC=CD 得

∴x=；

当时，

y=S△EGF=S△EDF=·DE·DF=x·x=x2，

∵＞0，对称轴为y轴

∴当，y随x的增大而增大

∴当x=时，y最大值=；

当＜x≤时，设FG，EG分别交BC于点M、N

∵DE=x，

∴EC=﹣x，NE=2(﹣x)，

∴NG=GE﹣NE=3x﹣．

又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°，

∴MG=NG•tan30°=，

，

y=S△EGF﹣S△MNG==．

∵，对称轴为直线，

∴当＜x≤时，y有最大值，

∴当x=时，．

综合两种情形：由于＜

∴当x=时，y的值最大，y的最大值为；

（3）由题意可知：AB=6，分三种情况：

①若AE=BE，解得t=9

②若AB=AE，解得t=9﹣2

③若BA=BE，解得t=12﹣．

考点：1.二次函数综合题2.全等三角形的判定与性质．