Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5米，AC＝12米.M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒.运动时间为t秒.

（1）当t为何值时，∠AMN＝∠ANM？

（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值.

Answer

（1）t为4秒 （2）t＝6秒时，S最大值＝m2

【解析】

【解析】
（1）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒.运动时间为t秒.

∴AM＝12－t，AN＝2t，

∵∠AMN＝∠ANM，

∴AM＝AN，从而12－t＝2t，

解得：t＝4秒，

∴当t为4秒时，∠AMN＝∠ANM.

（2）如图，作NH⊥AC于H，

∴∠NHA＝∠C＝90°，

∴NH∥BC，

∴△NHA∽△BCA，

∴＝，

即：＝，∴NH＝t，

从而有S△AMN＝（12－t）·t＝－t2＋t，

∴当t＝6秒时，S最大值＝m2.