Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC＝α(60°≤α＜90°)．

(1)当α＝60°时，求CE的长；

(2)当60°＜α＜90°时，

①是否存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

②连接CF，当CE²－CF²取最大值时，求tan∠DCF的值．

Answer

（1）5 （2）①存在k＝3 ②

【解析】

分析：(1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解；

(2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝GF，AG＝CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝GF，再根据AB、BC的长度可得AG＝AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF＝∠G＝∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC＝2∠G，然后推出∠EFD＝3∠AEF，从而得解；

②设BE＝x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答．

【解析】
(1)∵α＝60°，BC＝10，∴sinα＝，

即sin60°＝＝，解得CE＝5；

(2)①存在k＝3，使得∠EFD＝k∠AEF.

理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，如图所示，∵F为AD的中点，

∴AF＝FD，

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∴∠G＝∠DCF，在△AFG和△DFC中，

，

∴△AFG≌△DFC(AAS)，∴CF＝GF，AG＝DC，

∵CE⊥AB，

∴EF＝GF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠AEF＝∠G，

∵AB＝5，BC＝10，点F是AD的中点，

∴AG＝5，AF＝AD＝BC＝5，

∴AG＝AF，∴∠AFG＝∠G，

在△EFG中，∠EFC＝∠AEF＋∠G＝2∠AEF，

又∵∠CFD＝∠AFG(对顶角相等)，

∴∠CFD＝∠AEF，

∴∠EFD＝∠EFC＋∠CFD＝2∠AEF＋∠AEF＝3∠AEF，

因此，存在正整数k＝3，使得∠EFD＝3∠AEF；

②设BE＝x，∵AG＝CD＝AB＝5，

∴EG＝AE＋AG＝5－x＋5＝10－x，

在Rt△BCE中，CE2＝BC2－BE2＝100－x2，

在Rt△CEG中，CG2＝EG2＋CE2＝(10－x)2＋100－x2＝200－20x，

∵CF＝GF(①中已证)，

∴CF2＝＝CG2＝(200－20x)＝50－5x，

∴CE2－CF2＝100－x2－50＋5x

＝－x2＋5x＋50＝－＋50＋，

∴当x＝，即点E是AB的中点时，

CE2－CF2取最大值，

此时，EG＝10－x＝10－＝，

CE＝＝＝，

所以，tan∠DCF＝tan∠G＝＝＝.