Question

(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.求证：CE＝CF；

(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用(1)的结论证明：GE＝BE＋GD；

(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，(BC>AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面积．

Answer

(1) (2)见解析 (3)108

【解析】

(1)证明：∵四边形是ABCD正方形，

∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，

∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．

∴CE＝CF.

(2)证明：如图①，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF.

由(1)知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF.

∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，

即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∠GCE＝45°，

∴∠GCF＝∠GCE＝45°.

∵CE＝CF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG.

∴GE＝GF，

∴GE＝GF＝DF＋GD＝BE＋GD.

(3)【解析】
如图②，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G.

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，

∴∠A＝∠B＝90°，

又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，

∴四边形ABCG为正方形．

∴AG＝BC.

∵∠DCE＝45°，

根据(1)(2)可知，ED＝BE＋DG.

∴10＝4＋DG，即DG＝6.

设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，

在Rt△AED中，

∵DE2＝AD2＋AE2，

即102＝(x－6)2＋(x－4)2.

解这个方程，得：x＝12或x＝－2(舍去)．

∴AB＝12.

∴S梯形ABCD＝ (AD＋BC)·AB

＝×(6＋12)×12＝108.

即梯形ABCD的面积为108.