Question

如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F.

(1)求证：OE＝OF；

(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出

证明；如果不成立，请说明理由．

Answer

见解析

【解析】

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形．

∴∠BOE＝∠AOF＝90°.OB＝OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE

∴∠MEA＝∠AFO，

∴Rt△BOE≌ Rt△AOF

∴OE＝OF

(2)OE＝OF成立

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BOE＝∠AOF＝90°.OB＝OA.

又∵AM⊥BE，

∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠E＋∠OBE

又∵∠MBF＝∠OBE

∴∠F＝∠E.

∴Rt△BOE≌Rt△AOF.

∴OE＝OF.