Question

类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整，原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.若＝3，求的值．

(1)尝试探究：

在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是________，

CG和EH的数量关系是________，

的值是________．

(2)类比延伸：

如图2，在原题条件下，若＝m(m＞0)则的值是________(用含有m的代数式表示)，试写出解答过程．

(3)拓展迁移：

如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F，若＝a，＝b(a＞0，b＞0)则的值是________(用含a、b的代数式表示)．

Answer

(1)AB＝3EH CG＝2EH (2) (3)ab＋1

【解析】(1)依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如图1′所示，则有△ABF∽△EHF

图1′

∴＝＝3，

∴AB＝3EH

∵▱ABCD，EH∥AB

∴EH∥CD

又∵E为BC的中点，

∴EH为△BCG的中位线，

∴CG＝2EH，∴＝＝＝

(2)如图2′所示，作EH∥AB交BG于点H，

图2′

则△EFH∽△AFB

∴＝＝m，

∴AB＝mEH

∵▱ABCD

∴AB＝CD＝mEH

∵EH∥AB∥CD

∴△BEH∽△BCG

∴＝＝2，∴CG＝2EH，∴＝＝

(3)如图3′所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD

图3′

∵EH∥CD

∴△BCD∽△BEH

∴＝＝b，

∴CD＝bEH

又＝a，

∴AB＝aCD＝abEH

∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF

∴＝＝＝ab

∴＝＝＝ab＋1