Question

如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G.

(1)求证：△BDG∽△DEG；

(2)若EG·BG＝4，求BE的长．

Answer

(1)见解析 (2)4

【解析】

(1)证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，

∴∠FDC＝∠EBC，∵BE平分∠DBC，

∴∠DBE＝∠EBC，∴∠FDC＝∠EBD，

∵∠DGE＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG.

(2)【解析】
∵△BCE≌△DCF，

∴∠F＝∠BEC，∠EBC＝∠FDC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DCB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，

∵BE平分∠DBC，

∴∠DBE＝∠EBC＝22.5°＝∠FDC，

∴∠BDF＝45°＋22.5°＝67.5°，

∠F＝90°－22.5°＝67.5°＝∠BDF，

∴BD＝BF，∵△BCE≌△DCF，

∴∠F＝∠BEC＝67.5°＝∠DEG，

∴∠DGB＝180°－22.5°－67.5°＝90°，

即BG⊥DF，∵BD＝BF，∴DF＝2DG，

∵△BDG∽△DEG，BG·EG＝4，

∴＝，

∴BG·EG＝DG·DG＝4，

∴DG＝2，∴BE＝DF＝2DG＝4.