Question

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA.

(1)求证：DE平分∠BDC；

(2)若点 M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.

Answer

见解析

【解析】

证明：(1)在Rt△ABC中，

∵AC＝BC

∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

又∵∠CAD＝∠CBD＝15°

∴∠BAD＝∠ABD＝30°，

∴AD＝BD，∠ADB＝120°

∴△ADC≌△BDC(SAS)，∠BDE＝60°

∴∠ADC＝∠BDC＝120°

∴∠MDC＝60°，∴∠BDE＝∠CDE，

∴DE平分∠BDC.

(2)连CM由(1)知∠MDC＝60°

又∵DC＝DM，∴△DCM是等边三角形

∴∠CME＝120°，又∵AC＝CE，

∴∠CAE＝∠CEA＝15°.∴∠CEA＝∠CBD＝15°

由(1)知∠BDC＝120°，∴∠BDC＝∠EMC

∴△BDC≌△EMC，∴ME＝BD.