Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F.

(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；

(2)当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

Answer

见解析

【解析】

(1)证明：∵AD∥BC，

∴∠DEC＝∠EDA，

∠BEA＝∠EAD，

又∵EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∴∠DEC＝∠AEB，

又∵EB＝EC，

∴△DEC≌△AEB，

∴AB＝CD，

∴梯形ABCD是等腰梯形．

(2)【解析】
当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．

证明：∵AD∥BC，BE＝EC＝AD，

∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB＝ED，∵AB⊥AC，

∴AE＝BE＝EC，∴四边形AECD是菱形．

过A作AG⊥BE于点G，

∵AE＝BE＝AB＝2，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠AEB＝60°，∴AG＝，

∴S菱形AECD＝EC·AG＝2×＝2.